2015年11月6日 星期五

Linear Algebra - Ch4 線性映射 Linear Transformation

 

這篇文章的初版是在考研究所時完成,而因為線代在應用數學中佔著非常核心的位置,在研究中反覆使用,因此我這次對線代的核心觀念,linear transformation、eigenvalue 等重要議題做了第二次更新,希望能助於大家學習。2015.11.6. note.




一、線性映射 (Linear Transformation)


1. 線性映射定義


  • 一般版:$T(au + bv) = aT(u) + bT(v)$
  • 矩陣版:如果 $T$ 是線性映射,則存在唯一矩陣 $A$ 使 $T(x) = Ax$

可使用必要條件 $T(0) = 0$ 做初步判斷是否為線性映射  (下面這張kernel的映射圖觀念很重要!) 。根據可以推敲出 $T$ 的標準矩陣求法:

舉例來說,

$T(x_1,x_2) = ( x_1+2x_2 , x_1-x_2 , 2x_2 )$
$A = [T(e_1),T(e_2)] = [1,  1,  0]^T[2,  -1,  2]^T$



Theorem : 一組 $basis = (v_1, v_2, … ,v_n)$ 對任意 $w_1, w_2, … ,w_n$ 存在唯一線性映射使 $T(v_1) = w_1$。也就是說,當一個線性映射對某一組基底決定,整個線性映射便唯一決定

舉例來說, 



2. 常見的線性算子


保線性轉換的操作

  • 微分
  • 轉置

二維空間上常見的線性算子

  • rotation:[cos sin]T [-sin cos]T
  • reflection
  • projection
  • dilation, contraction
  • translation (轉換到齊次座標, homogeneous coordinate)




二、Order Basis and Coordinate Vector


1. 座標向量定義 





2. 同構(isomorphic)


任何 n 維 vector space 皆和 $F_nx1$ 同構


  1. linear transformation
  2. one-to-one
  3. onto





3. Transition matrix , change of coordinate matrix







三、Matrix Representation of T



1. 矩陣表示法 (matrix representation of T relative to b and r)



例題:


換底公式:





四、Kernel and Image


1. kernel, image, nullity and rank  


線性代數最重要的觀念就在下圖了,務必想透。

 


2. Sylvester 第一定理(維度定理)


一般版:T ∈ L(V, V’), dim(V) <$ unlimited, then 

$dim(V) = dim(ker(T)) + dim(Im(T)) = nullity(T) + rank(T)$

矩陣版:

$n = dim(R(A)) + dim(N(A)) = nullity(A) + rank(A)$




五、線性映射的一些性質



1. 線性轉換的維度 (dimension)


  • 若T為one-to-one,dim(V) ≤ dim(V')  
  • 若T為onto,dim(V) ≥ dim(V')
  • 若T為one-to-one且onto,dim(V) = dim(V')    
  • 若dim(V) = dim(V'),則  T為one-to-one <=> T為onto



2. 矩陣為一對一及映成的特性


  • A為 one-to-one <=> N(A) = {0}  <=>  Ax=0 只有零解 <=> A為行獨立   
  • A為 onto <=> R(A) = F^mx1 <=> A行生成


3. S具某性質,則T(S)也具某性質


  • 保相依
  • 保獨立 <=> T為one-to-one
  • 保生成 <=> T為onto




六、Rank


1. rank的定義


假設 $A$ 屬於 $F^(m*n)$,$rr(A) = cr(A)$ 的值定義為 $A$ 的rank,記作 $rank(A)$

四大空間的基底 (重要):

  • dim(R(A)) = dim(CS(A)) = r
  • dim(R(A^T)) = dim(RS(A)) = r
  • dim(N(A)) = dim(ker(A)) = n - r
  • dim(N(A^T)) = dim(ker(A)) = m - r

2. rank大小的相關定理


  • CS(AB) 包含於CS(A)、RS(AB) 包含於RS(B)
  • rank(AB) <= min{rank(A), rank(B)}
  • CS(A+B) 包含於 CS(A) + CS(B) [和空間] 
  • rank(A+B) <= rank(A) + rank(B)


3. rank與線性方程組的相關定理


假設A屬於F^mxn,b屬於F^mx1則


  • Ax = b 有解 iff rank( [A | b] ) = rank(A)
  • Ax = b 至少一解 iff rank(A) = m
  • Ax = b 至多一解 iff rank(A) = n

舉例

  • A : 3x5, rank(A) = 3, 則Ax = b為無限多解
  • A : 4x3, rank(A) = 3, 則Ax = b為至多一解
  • A : 3x4, rank(A) = 2, 根據b不同,在一些情況下Ax = b無解,另一些情況下Ax = b無限多解




-------------------

網友提問:關於線性映射的操作


首先可以看到,上面總共有四個「基底」,用白話文說就是「以某些向量當基準來觀察這個世界」XD

一個是E當底的世界,一個是F當底的世界。

一個是二維標準基底的世界,一個是三維標準基底的世界。

所以...









References


黃子嘉線性代數講義

linear algebra and its applications






技術提供:Blogger.